Mathe Endlosthread (nicht nur Genies und Verrückte:-p)

[tjp]

Die Mathematiker wissen im Prinzip nur, das die einzelnen Zahlen größer als 2 sind.

Was soll denn dann der Satz "Die beiden Mathematiker kennen die Untergrenze der beiden Zahlen, aber nicht deren Obergrenze." bedeuten? Vorher wurden die beiden Zahlen doch schon dadurch eingeschränkt, daß sie aus der Menge {2, … ,20} stammen.

 

[mr.winkle]

Wie gesagt, die Obergrenze 20 kennen die Mathematiker nicht, das weiß nur der eingeweihte Beobachter.

 

[tjp]

Ah, so ist das zu verstehen. Danke für die Klärung.

 

[cusertrumpl]

Möchte jemand noch ein wenig tüfteln, sonst wäre es wohl die beste Lösung, das Rätsel zu lösen. Kann uns Herr Winkle vielleicht noch einen Tipp geben?

 

[iFan]

Dieser Thread ist mir zu hoch

Mir ebenfalls, musste jetzt mal erwähnt werden.

 

[Phalanx1984]

also her mit der lösung und einer neuen aufgabe

 

[mr.winkle]

Okay, muss zugeben, war eine harte Nuss.
Hier mal die Lösung:

Sei s die Summe, p das Produkt der Zahlen.
1. Schritt:

Für S ist entscheidend, ob sich s als Summe zweier Primzahlen darstellen läßt. Wäre das der Fall, dann könnte er seine erste Aussage nicht machen.

Beispielsweise müßte er bei s=10 mit p=25 (5*5) oder 21 (3*7) rechnen, womit P sofort s bestimmen könnte.

Aufgrund der Aussage von S können wir für s alle Möglichkeiten streichen, die sich als Summe von 2 Primzahlen darstellen lassen. Dazu gehören alle geraden Zahlen und alle ungeraden Zahlen für die gilt: Primzahl + 2.

Übrig bleiben für s: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, ...

Diese Zahlenfolge bezeichne ich hier als die Menge der möglichen Summen MS.
2. Schritt

P zerlegt p auf jede mögliche Weise und addiert die Faktoren.
Dadurch erhält eine Anzahl möglicher Summen. Er stellt fest:
Tatsächlich, p läßt sich auf mehr als eine Art als Produkt zweier Faktoren darstellen. Doch warum war sich S dessen so sicher?

P versetzt sich in die Lage von S, durchdenkt den 1. Schritt und schlußfolgert:

Eine oder mehrere der Summen, die ich durch die Faktorzerlegung herausgefunden habe, muß zu MS gehören.

Oh, welche Freude, genau eine der Summen gehört zu MS.
Damit kenne ich nun die Summe von S.
3. Schritt

S versetzt sich in die Lage von P und durchdenkt Schritt 2.
Warum kennt P meine Summe? P muß bei der Faktorzerlegung und der anschließenden Summierung auf eine und nur eine Summe gestoßen sein, die zu MS gehört.

S untersucht nun alle möglichen Produkte, die mit seiner Summe möglich sind, indem er Schritt 2 jedes mal anwendet.
Dabei stellt er fest, daß bei einem und nur bei einem Produkt,
die Schlußfolgerung aus Schritt 2 zum Erfolg führt.

In allen anderen Fällen gehören entweder mehrere Summen zu MS oder keine.

Damit ist auch für S das Produkt eindeutig.
4. Schritt

Wir müssen nun für jede Summe aus MS den Schritt 3 durcharbeiten. Falls nur für genau eine Zahl die Schlußfolgerung aus Schritt 3 zutrifft, haben wir eine eindeutige Lösung.
5. Schritt

Man erhält

s = 17
p = 52

Die beiden ausgewählten Zahlen waren 4 und 13.


Bin mal auf die nächste Aufgabe gespannt!

 

[cusertrumpl]

Danke für die schöne beschreibung (bei Zeit lese ich sie auch durch).
Wer soll die nächste Aufgabe stellen? Eigentlich dürfstest du sie auch stellen. Vielleicht findest du auch einen freiwilligen (nicht mich).

 

[Blixten]

4. Schritt

Wir müssen nun für jede Summe aus MS den Schritt 3 durcharbeiten. Falls nur für genau eine Zahl die Schlußfolgerung aus Schritt 3 zutrifft, haben wir eine eindeutige Lösung.

Geht das wirklich nur mit einem brute force Ansatz?

Hab mal kurz ueberschlagen, wenn man das fuer alle Summen (bis zur 37) macht und bedenkt, dass die Zahlen høchstens 20 sind, dann sind das 39 møgliche Produkte, von denen man jeweils sæmtliche Faktorenzerlegungen ueberpruefen muss.
Gut einige wenige Produkte sind gleich fuer zwei Summen aus MS, aber am Ende wird man eine Rechentabelle mit sicher 100 Eintrægen brauchen, um das Problem mit diesem Ansatz zu løsen.
Hatte eigentlich gehofft, es gæbe eine smarte Variante, um darum herum zu kommen.

P.s.: "In allen anderen Fällen gehören entweder mehrere Summen zu MS oder keine."
Keine kann nicht sein, da S ja alle møglichen Produkte untersucht, die mit seiner Summe møglich sind, und seine Summe muss ja zu MS gehøren.

 

[tjp]

Für S ist entscheidend, ob sich s als Summe zweier Primzahlen darstellen läßt. Wäre das der Fall, dann könnte er seine erste Aussage nicht machen.

Also, ich sehe nicht, daß die Aussage (den Satz den er im Rätsel sagt) irgend eine Wert hat, denn sie ist ein Paradoxon. Wenn sie wahr wäre, dann ergibt sich als Schlußfolgerung, daß man die Lösung bestimmen kann, d.h. das sie nicht wahr sein kann. Ist sie dagegen falsch, dann kann man die Lösung nicht bestimmen, was wiederum die Aussage wahr macht. Da paßt etwas nicht zusammen.

Änderung: Anmerkung ergänzt

 

[Phalanx1984]

nö, wenn die Summe durch 2 primzahlen darstellbar wäre, dann wäre es auch das Produkt, und das Produkt von nur zwei primfaktoren ist eindeutig für diese beiden, also wüsste P die zahlen (wenn er ein Produkt aus zwei primzahlen hätte könnte er ja darauf zurückschließen) und somit auch deren Summe.

also so hab ich das jetzt verstanden. Und daher weiß S dass P nicht direkt aus seinem Produkt auf die Summe schließen kann...

 

[mr.winkle]

So, ich stelle einfach mal die nächste Aufgabe:

Wann überdecken sich bei einer Uhr mit normalem Ziffernblatt beide Zeiger?
(Uhr mit Minuten und Stundenzeiger)

 

[Crizt]

Ich denke bestimmt zu einfach....
Aber ansich doch nur wenn beide Zeiger auf die 12 zeigen und das kommt zweimal am Tag vor.
Andere Kombinationen sollten nicht möglich sein....

 

[tharwan]

das glaub ich aber nicht. mal angenommen wir hätten eine uhr bei der der studenzeiger keine zwischenzustände kennt dann würde es bei 5 nach 1 schon wieder zu einer überdeckung kommen. Wenn man jetzt aber davon ausgeht das sich der h-zeiger in den 5 minuten auch wieder etwas bewegt hat dann eben etwas später. das passiert dann immer wieder da der min-zeiger ja 5 mal schneller läuft als der h-zeiger

 

[Phalanx1984]

Lösung:

hh:mm:ss
00:00:00
01:05:27
02:11:13
03:16:22
04:21:49
05:27:16
06:32:43
07:38:10
08:43:37
09:49:05
10:54:32 korrigiert nach mr.winkle
12:00:00

Lösungsweg:
Also ich habe die beiden Zeiger als Schwingungen betrachtet, der Minutenzeiger mit der Frequenz 1 pro Stunde und den Stundenzeiger mit 1/12 pro Stunde.
Daraus erhält man die beiden Ortskuven
Stundenzeiger: ys=sin((2pi/12)*t)
Minutenzeiger. ym=sin(2pi*t)

Alle Uhrzeiten sind Schnittpunkte der beiden Kurven. Es gibt noch mehr Schnittpunkte, erst dachte ich, dass sind die Zeitpunkte zu denen sie genau entgegengesetzt zeigen, das stimmt aber nicht. also, wenn jemand dafür eine Idee hat wär ich schlauer.

Zuerst dachte ich man kann das über a mod 60 = b mod 12 lösen, hat aber irgendwie nicht geklappt...

 

[Phalanx1984]

Nächste Aufgabe:
In einer Region haben 60 % der Haushalte einen Internetanschluss. Das Diagramm veranschaulicht die Anteile der Zugangsgeschwindigkeiten unter den Haushalten mit Internetanschluss in dieser Region.
Im Auftrag eines Providers (Internetdienstanbieters) wird unter allen Haushalten dieser Region eine Umfrage zur Nutzung des Internets durchgeführt.

1. Zunächst werden 25 Haushalte der Region zufällig ausgewählt.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als die Hälfte der ausgewählten Haushalte einen Internetanschluss besitzt?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ausgewählten Haushalten mindestens zwei einen schnellen Internetzugang besitzen?

TIP:
Man benötigt ein stochastisches Tafelwerk, das ich leider nicht online finden konnte, entweder ihr bemüht eure eigene Formelsammlung oder ich scane es heute abend ein, wenn ich zu Hause bin...

EDIT: So die Binomialverteilung habe ich nun auch angehäng, damit sollte die Aufgab Lösbar sein. Es ist übrigens eine Abitur-Aufgabe aus Bayern. (Google ist gegen die Mathematiker-Ehre )

 

[mr.winkle]

Lösung:

hh:mm:ss
00:00:00
01:05:27
02:11:13
03:16:22
04:21:49
05:27:16
06:32:43
07:38:10
08:43:37
09:49:05
10:50:23
12:00:00

Lösungsweg:
Also ich habe die beiden Zeiger als Schwingungen betrachtet, der Minutenzeiger mit der Frequenz 1 pro Stunde und den Stundenzeiger mit 1/12 pro Stunde.
Daraus erhält man die beiden Ortskuven
Stundenzeiger: ys=sin((2pi/12)*t)
Minutenzeiger. ym=sin(2pi*t)

Alle Uhrzeiten sind Schnittpunkte der beiden Kurven. Es gibt noch mehr Schnittpunkte, erst dachte ich, dass sind die Zeitpunkte zu denen sie genau entgegengesetzt zeigen, das stimmt aber nicht. also, wenn jemand dafür eine Idee hat wär ich schlauer.

Zuerst dachte ich man kann das über a mod 60 = b mod 12 lösen, hat aber irgendwie nicht geklappt...

Ist wahrscheinlich ein Tippfehler meinerseits, aber die vorletzte Überdeckung findet bei meiner Rechnung um 10:54 statt... werde das bei Gelegenheit noch einmal durchrechnen, ansonsten aber eine schöne Lösung.
Lösungsansatz: Die Überdeckungen erfolgen im Intervall von 12/11 Stunden, weil es in 12 Stunden genau 11 Überdeckungen gibt.

Werde mich nachher mal um deine Aufgabe kümmern

 

[Phalanx1984]

Ist wahrscheinlich ein Tippfehler meinerseits, aber die vorletzte Überdeckung findet bei meiner Rechnung um 10:54 statt...

Ich habe am Schnittpunkt einen Wert von 10,909091 (gerundet) als t-Koordinate. bei t in Stunden bleiben dann noch 0,909091 Stunden, die in Minuten umgerechnet werden müssen, also 0,909091 * 60 = 54,54546 (gerundet). also scheinst du recht zu haben und ich hab mich wohl irgendwie vertan...

 

[Phalanx1984]

Push!

...keiner eine Idee? wollt ihr tips?

 

[larsm]

a) 15,37% ?