Okay, muss zugeben, war eine harte Nuss.
Hier mal die Lösung:
Sei s die Summe, p das Produkt der Zahlen.
1. Schritt:
Für S ist entscheidend, ob sich s als Summe zweier Primzahlen darstellen läßt. Wäre das der Fall, dann könnte er seine erste Aussage nicht machen.
Beispielsweise müßte er bei s=10 mit p=25 (5*5) oder 21 (3*7) rechnen, womit P sofort s bestimmen könnte.
Aufgrund der Aussage von S können wir für s alle Möglichkeiten streichen, die sich als Summe von 2 Primzahlen darstellen lassen. Dazu gehören alle geraden Zahlen und alle ungeraden Zahlen für die gilt: Primzahl + 2.
Übrig bleiben für s: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, ...
Diese Zahlenfolge bezeichne ich hier als die Menge der möglichen Summen MS.
2. Schritt
P zerlegt p auf jede mögliche Weise und addiert die Faktoren.
Dadurch erhält eine Anzahl möglicher Summen. Er stellt fest:
Tatsächlich, p läßt sich auf mehr als eine Art als Produkt zweier Faktoren darstellen. Doch warum war sich S dessen so sicher?
P versetzt sich in die Lage von S, durchdenkt den 1. Schritt und schlußfolgert:
Eine oder mehrere der Summen, die ich durch die Faktorzerlegung herausgefunden habe, muß zu MS gehören.
Oh, welche Freude, genau eine der Summen gehört zu MS.
Damit kenne ich nun die Summe von S.
3. Schritt
S versetzt sich in die Lage von P und durchdenkt Schritt 2.
Warum kennt P meine Summe? P muß bei der Faktorzerlegung und der anschließenden Summierung auf eine und nur eine Summe gestoßen sein, die zu MS gehört.
S untersucht nun alle möglichen Produkte, die mit seiner Summe möglich sind, indem er Schritt 2 jedes mal anwendet.
Dabei stellt er fest, daß bei einem und nur bei einem Produkt,
die Schlußfolgerung aus Schritt 2 zum Erfolg führt.
In allen anderen Fällen gehören entweder mehrere Summen zu MS oder keine.
Damit ist auch für S das Produkt eindeutig.
4. Schritt
Wir müssen nun für jede Summe aus MS den Schritt 3 durcharbeiten. Falls nur für genau eine Zahl die Schlußfolgerung aus Schritt 3 zutrifft, haben wir eine eindeutige Lösung.
5. Schritt
Man erhält
s = 17
p = 52
Die beiden ausgewählten Zahlen waren 4 und 13.
Bin mal auf die nächste Aufgabe gespannt!