...es gibt für beides Argumente.
Argumente gegen einen Mac Mini als Server:
-OS X Server ist eine ständige Baustelle, laufend geht was kaputt. Selbst ohne das kann von "einfach so" keine Rede sein, weil man immer noch wissen muss, was man tut, insbesondere bei der Auswahl der Einstellungen für DNS, was schon die initiale Konfiguration zu einem Vabanque-Spiel werden lässt. Die meisten beantworten die Fragen beim Einstellungsassistenten nämlich falsch.
-OS X ist auch nicht dafür bekannt, als fehlerfreie "Punkt-Null"-Version ausgeliefert zu werden. Startest Du jetzt mit einem aktuellen Mini, kommt nur Yosemite in Frage. Das kenne ich persönlich noch nicht, aber wenn die drei Versionen davor seit Snow Leopard irgendeine Idee liefern, wie es sein könnte oder wird, dann eine verheerende.
-der aktuelle Mini ist ein Witz, der Apple um die Ohren geschlagen gehört. Er ist absolut angezwackt, an allen Ecken und Enden. RAM nicht selber aufrüstbar, Festplatte ohne Garantieverlust auch nicht mehr änderbar, zweite Festplatte überhaupt nicht mehr verfügbar. Kein FW800 mehr (gut, das Argument steht alleine, damit hat eh keiner mehr gerechnet und ist auch nur für ältere Nutzer mit bereits vorhandener Peripherie von Relevanz; man bekommt ja so gut wie nichts neues mehr dafür). Nur Dual-CPU - und gerade die Einstiegsvariante, die so als günstig beworben wird, hat eine extrem schwachbrüstige CPU. Gut, sie wird für 99% aller Nutzer immer noch gut genug sein, aber ich sage es halt mal.
Argumente für einen Mac Mini als Server:
-Mavericks mit Server.app 3.2.2 ist mittlerweile zumindest einmal mit Ahnung eingerichtet "halbwegs" stabil. Es gibt immer noch Memory Leaks, nicht erklärbare WindowServer-Abstürze und das "Sich-Selbst-Zerkonfigurieren"-Syndrom der Server.app itself, aber wenn man nichts anfasst und sich auch nicht drauf einloggt, dann geht es so ganz knapp. Gut, ob das 1000 Euro wert ist?
-Der Mac Mini Server (Ivy Bridge, 2012er Modell) ist eigentlich von Schnittstellen, Performance und Preis als Auslaufmodell absolut interessant.
-Wenn Software-Änderungen, neue oder geänderte Netzwerkprotokolle oder neue Funktionen in iTunes usw. unterstützt werden sollen, hier sind die Anpassungen zuerst zu erwarten.
Argumente für ein NAS:
Ein Synology oder QNAP (das sind so die beiden, die einen sehr guten Ruf haben, was sogar bei mir als informiertem Nicht-Nutzer angekommen ist

) haben die Nische erkannt, in der sie sitzen.
-Größere Funktionsänderungen, z.B. bei den Netzwerkprotokollen (da gab es einiges), erfordern natürlich etwas Geduld, aber meist wurden auch die älteren Geräte noch für aktuelle Versionen von OS X fit gemacht. Durchaus zu begrüssen. Also gehe ich mal davon aus, dass ein aktuelles Gerät dieses Baujahres einigermaßen brauchbar werden/sein sollte.
-Es ist je nach Gerät nur _ein_ Kasten. Insbesondere was die Netzteile der Festplatten (Wandwarzen!) angeht, wird man das in dem Fall gut finden können.
Argument gegen ein NAS:
-Produktwildwuchs mit dutzenden Versionen mit Plus, ohne Plus, GTI, GTIrs usw. usf.
-teilweise lahm
Hinsichtlich Stromverbrauch werden sich beide Szenarien nicht groß unterscheiden.
Am Rande noch:
1. Einen Mini kauft man nicht gebraucht. Ich persönlich habe noch nie gesehen, dass Gebrauchtgeräte mit akzeptablem Preisverfall abgesetzt wurden. Die Preise sind Mondpreise. Für die Verkäufer ist das gut, aber es ist einfach ein schlechter Scherz. Offenbar sind die Leute bereit, das zu zahlen. Unverständlich, aber jedem sei sein Himmel Königreich. Oder so.
2. iTunes-Server gibt es nicht.
Zusammenfassend ist meine Meinung, man kann beides machen und man muss sicherlich nicht die Allgemeingültigkeit seiner Entscheidung gegen "Dummschwätzerei anderer" stellen und so begründen. Auch meine Argumente oben sind nicht allumfassend oder gar unumstößlich richtig, ich nehme die Situation nur so wahr und gebe meine Einschätzung wieder. Ich möchte nur noch mal drauf hinweisen, wenn NAS, dann am besten Synology oder QNAP, da macht man am ehesten nichts falsch.